Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали от витка. поэтому все элементы витка перпендикулярны радиус-вектору, то ; так как расстояния от всех элементов проводника до центра витка одинаково и равно радиусу витка. Поэтому:
Поле прямого проводника.
В качестве постоянной интегрирования выберем угол α (угол между векторами dB и r ), и выразим через него все остальные величины. Из рисунка следует, что:
Подставим эти выражения в формулу закона Био-Савара-Лапласа:
И - углы, под которыми видны концы проводника из точки, в которой измеряется магнитная индукция. Подставим и в формулу:
В случае бесконечно длинного проводника ( и ) имеем:
Применение закона Ампера.
Взаимодействие параллельных токов
Рассмотрим два направленных в одну сторону бесконечных прямолинейных параллельных тока I 1 и I 2 , расстояние между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Ток I 1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора В , определяется правилом правого винта, его модуль равен:
Направление силы dF 1 , с которой поле B 1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки. Модуль силы с учетом того, что угол α между элементами тока I 2 и вектором B 1 прямой, равен
Подставляя значение B 1 . получим:
Аналогично рассуждая, можно доказать, что
Отсюда следует, что , то есть два параллельных тока притягиваются друг к другу с одинаковой силой. Если токи имеют противоположное направление, то используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания.
Сила взаимодействия на единицу длины:
Поведение контура с током в магнитном поле.
Внесем квадратную рамку со стороной l с током I в магнитное поле B, на контур будет действовать вращательный момент пары сил Ампера:
Магнитный момент контура,
Магнитная индукция в точке поля, где находится контур
Контур с током стремится установиться в магнитном поле так, чтобы поток сквозь него был максимален, а момент минимален.
Магнитная индукция в данной точке поля численно равна максимальному вращательному моменту, действующему в данной точке поля на контур с единичным магнитным моментом.
Закон полного тока.
Найдем циркуляцию вектора В по замкнутому контуру. В качестве источника поля возьмем длинный проводник с током I, в качестве контура – силовую линию радиуса r.
Распространим этот вывод на контур любой формы, охватывающий любое количество токов. Закон полного тока:
Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, охваченных этим контуром.
Применение закона полного тока для расчета полей
Поле внутри бесконечно длинного соленоида:
где τ – линейная плотность намотки витков, l S – длина соленоида, N – число витков.
Пусть замкнутый контур – прямоугольник длиной х, который оплетает витков, тогда индукция В по этому контуру:
Найдем индуктивность этого соленоида:
Поле тороида (провод, намотанный на каркас в виде тора).
R – средний радиус тора, N – число витков, где – линейная плотность намотки витков.
В качестве контура возьмем силовую линию радиусом R.
Эффект Холла
Рассмотрим металлическую пластину, помещенную в магнитное поле. По пластине пропускается электрический ток. Возникает разность потенциалов. Так как магнитное поле воздействует на движущиеся электрические заряды (электроны), то на них будет действовать сила Лоренца, перемещающая электроны к верхнему краю пластины, и, следовательно, у нижнего края пластины будет образовываться избыток положительного заряда. Таким образом, между верхним и нижним краями создается разность потенциалов. Процесс перемещения электронов будет продолжаться до тех пор, пока сила, действующая со стороны электрического поля не уравновесится силой Лоренца.
где d – длина пластинки, а – ширина пластинки, - холловская разность потенциалов.
Закон электромагнитной индукции.
Магнитный поток
где α – угол между В и внешним перпендикуляром к площади контура.
При всяком изменении магнитного потока во времени. Таким образом, ЭДС индукции возникает как при изменении площади контура, так и при изменении угла α. ЭДС индукции – первая производная магнитного потока по времени:
Если контур является замкнутым, то по нему начинает протекать электрический ток, называемый индукционным током:
где R – сопротивление контура. Ток возникает из-за изменения магнитного потока.
Правило Ленца.
Индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемый этим током магнитный поток препятствовал изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток. Ток имеет такое направление, чтобы препятствовать причине, вызвавшей его.
Вращение рамки в магнитном поле.
Предположим, что рамка вращается в магнитном поле с угловой скоростью ω, так что угол α равен . в этом случае магнитный поток:
Следовательно, вращающаяся в магнитном поле рамка является источником переменного тока.
Вихревые токи (токи Фуко).
Вихревые токи или токи Фуко возникают в толщине проводников, которые находятся в переменном магнитном поле, создающем переменный магнитный поток. Токи Фуко приводят к нагреванию проводников и, следовательно, к электрическим потерям.
Явление самоиндукции.
При всяком изменении магнитного потока возникает ЭДС индукции. Предположим, что имеется катушка индуктивности, по которой протекает электрический ток. Согласно формуле в этом случае в катушке создается магнитный поток . При всяком изменении тока в катушке магнитный поток изменяется и, следовательно, возникает ЭДС, называемая ЭДС самоиндукции ():
Система уравнений Максвелла.
Электрическое поле представляет собой совокупность взаимно связанных и взаимно изменяющихся магнитных полей. Максвелл установил количественную взаимосвязь между величинами, характеризующими электрическое и магнитные поля.
Первое уравнение Максвелла.
Из закона электромагнитной индукции Фарадея следует, что при всяком изменении магнитного потока появляется ЭДС. Максвелл предположил, что появление в окружающем пространстве ЭДС связано с возникновением в окружающем пространстве вихревого электромагнитного поля. Проводящий контур играет роль прибора, который фиксирует появление в окружающем пространстве этого электрического поля.
Физический смысл первого уравнения Максвелла: всякое изменение во времени магнитного поля приводит к появлению в окружающем пространстве вихревого электрического поля.
Второе уравнение Максвелла. Ток смещения.
Конденсатор включен в цепь постоянного тока. Предположим, что цепь, содержащую конденсатор подключают к источнику постоянного напряжения. Конденсатор заряжается, и ток в цепи прекращается. Если конденсатор включить в цепь переменного напряжения, то ток в цепи не прекращается. Это связано с процессом непрерывной перезарядки конденсатора, в результате которой между обкладками конденсатора возникает изменяющееся во времени электрическое поле. Максвелл предположил, что в пространстве между обкладками конденсатора возникает ток смещения, плотность которого определяется скоростью изменения электрического поля во времени. Из всех свойств, присущих электрическому току, Максвелл приписал току смещения одно-единственное свойство: способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Максвелл предположил, что на обкладках конденсатора линии тока проводимости не прекращаются, а непрерывно переходят в линии тока смещения. Таким образом:
Таким образом, плотность тока:
где - плотность тока проводимости, - плотность тока смещения.
Согласно закону полного тока:
Физический смысл второго уравнения Максвелла: источником магнитного поля являются как токи проводимости, так и изменяющееся во времени электрическое поле.
Третье уравнение Максвелла (теорема Гаусса).
Поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности:
Физический смысл четвертого уравнения Максвелла: линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на свободных электрических зарядах. То есть, источником электростатического поля являются электрические заряды.
Четвертое уравнение Максвелла (принцип непрерывности магнитного потока)
Физический смысл четвертого уравнения Максвелла: линии вектора магнитной индукции нигде не начинаются и не заканчиваются, они непрерывны и замкнуты сами на себя.
Магнитные свойства веществ.
Напряженность магнитного поля.
Основной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции, определяющий силовое воздействие магнитного поля на движущиеся заряды и токи, вектор магнитной индукции зависит от свойств среды, где создано магнитное поле. Поэтому вводится характеристика, зависящая только от токов, связанных с полем, но не зависящая от свойств среды, где существует поле. Эта характеристика называется напряженностью магнитного поля и обозначается буквой H .
Если рассматривается магнитное поле в вакууме, то напряженность
где - магнитная постоянная вакуума. Единица напряженности Ампер/метр.
Магнитное поле в веществе.
Если все пространство, окружающее токи, заполнить однородным веществом, то индукция магнитного поля изменится, но при этом не изменится распределенное поле, то есть, индукция магнитного поля в веществе пропорциональна магнитной индукции в вакууме. - магнитная проницаемость среды. Магнитная проницаемость показывает, во сколько раз магнитное поле в веществе отличается от магнитного поля в вакууме. Величина может быть как меньше, так и больше единицы, то есть магнитное поле в веществе может быть как меньше так и больше магнитного поля в вакууме.
Вектор намагниченности. Всякое вещество является магнетиком, то есть способно приобретать под действием внешнего магнитного поля магнитный момент – намагничиваться. Электроны атомов под действием взаимного магнитного поля совершают прецессионное движение – такое движение, при котором угол между магнитным моментом и направлением магнитного поля остается постоянным. При этом магнитный момент вращается округ магнитного поля с постоянной угловой скоростью ω. Прецессионное движение эквивалентно круговому току. Так как микроток индуцирован внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется составляющая магнитного поля, направленная противоположно внешнему полю. Наведенная составляющая магнитных полей складывается и образует собственное магнитное поле в веществе, направленное противоположно внешнему магнитному полю, и, следовательно, ослабляющее это поле. Этот эффект получил название диамагнитного эффекта, а вещества, в которых возникает диамагнитный эффект, называют диамагнитными веществами или диамагнетиками. В отсутствии внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку магнитные моменты электронов взаимно компенсируются и суммарный магнитный момент атома равен нулю. Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойственен ВСЕМ ВЕЩЕСТВАМ.
Парамагнетиками называют вещества, у которых даже в отсутствии внешнего магнитного поля атомы и молекулы имеют собственный магнитный момент. Однако, в отсутствии внешнего магнитного поля, магнитные моменты разных атомов и молекул ориентированы хаотически. При этом магнитный момент любого макроскопического объема вещества равен нулю. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле, магнитные моменты ориентируются по направлению внешнего магнитного поля, и возникает магнитный момент, направленный вдоль направления магнитного поля. Однако, суммарное магнитное поле, возникающее в парамагнетике существенно перекрывает диамагнитный эффект.
Намагниченностью вещества называется магнитный момент единицы объема вещества.
где - магнитный момент всего магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных атомов и молекул.
Магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля и поля , создаваемого намагниченным веществом:
(читается «хи» ) – магнитная восприимчивость вещества.
Подставим формулы (2), (3), (4) в формулу (1):
Коэффициент - безразмерная величина.
Для диамагнетиков (это означает, что поле молекулярных токов противоположно внешнему полю).
Для парамагнетиков (это означает, что поле молекулярных токов совпадает со внешним полем).
Следовательно, диамагнетиков , а для парамагнетиков . и Н .
Петля гистерезиса.
Зависимость намагниченности J от напряженности внешнего магнитного поля H образует так называемую «петлю гистерезиса». Вначале (участок 0-1) ферромагнетик намагничивается, причем намагничивание происходит не линейно, и в точке 1 достигается насыщение, то есть, при дальнейшем увеличении напряженности магнитного поля рост тока прекращается. Если начать увеличивать напряженность намагничивающего поля, то уменьшение намагниченности идетпо кривой 1-2 , лежащей выше кривой 0-1 . При наблюдается остаточное намагничивание (). С наличием остаточной намагниченности связано существование постоянных магнитов. Намагниченность обращается в ноль в точке 3, при отрицательном значении магнитного поля , которое называется коэрцитивной силой. При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромагнетик перемагничивается (кривая 3-4). Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4-5-6) и вновь намагнитить до насыщения (кривая 6-1). Ферромагнетики с малой коэрцитивной силой (с малыми значениями ) называются мягкими ферромагнетиками, и им соответствует узкая петля гистерезиса. Ферромагнетики, имеющие большое значение коэрцитивной силы называются жесткими ферромагнетиками. Для каждого ферромагнетика существует определенная температура, называемая точкой Кюри, при которой ферромагнетик теряет свои ферромагнитные свойства.
Природа ферромагнетизма.
Согласно представлениям Вейсса. ферромагнетики при температуре ниже точки Кюри имеют доменную структуру, а именно ферромагнетики состоят из макроскопических областей, называемых доменами, каждый из которых имеет свой собственный магнитный момент, представляющий собой сумму магнитных моментов большого количества атомов вещества, ориентированных в одном направлении. В отсутствие внешнего магнитного поля домены ориентированы хаотично и результирующий магнитный момент ферромагнетика в целом равен нулю. При приложении внешнего магнитного поля магнитные моменты доменов начинают ориентироваться в направлении поля. При этом намагниченность вещества возрастает. При некотором значении напряженности внешнего магнитного поля все домены оказываются ориентированы вдоль направления поля. При этом рост намагниченности прекращается. При уменьшении напряженности внешнего магнитного поля намагниченность вновь начинает уменьшаться, однако, не все домены разориентируются одновременно, поэтому уменьшение намагниченности идет медленнее, и при равной нулю напряженности магнитного поля между некоторыми доменами остается достаточно сильная ориентирующая связь, которая приводит к наличию остаточной намагниченности, совпадающей с направлением магнитного поля, существовавшего ранее.
Чтобы разрушить эту связь, необходимо приложить магнитное поле в противоположном направлении. При значениях температуры выше значения точки Кюри увеличивается интенсивность теплового движения. Хаотическое тепловое движение разрывает связи внутри доменов, то есть теряется преимущественная ориентация самих доменов. Таким образом, ферромагнетик теряет свои ферромагнитные свойства.
Экзаменационные вопросы:
1) Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона.
2) Напряженность электрического поля. Физический смысл напряженности. Напряженность поля точечного заряда. Силовые линии электрического поля.
3) Два определения потенциалов. Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Связь напряженности и потенциала. Работа по замкнутой траектории. Теорема о циркуляции.
4) Электроемкость. Конденсаторы. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов. Емкость плоского конденсатора.
5) Электрический ток. Условия существования электрического тока. Сила тока, плотность тока. Единицы измерения силы тока.
6) Закон Ома для однородного участка цепи. Электрическое сопротивление. Зависимость сопротивления от длины сечения материала проводника. Зависимость сопротивления от температуры. Последовательное и параллельное соединение проводников.
7) Сторонние силы. ЭДС. Разность потенциалов и напряжение. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Закон Ома для замкнутой цепи.
8) Нагревание проводников электрическим током. Закон Джоуля-Ленца. Мощность электрического тока.
9) Магнитное поле. Сила Ампера. Правило левой руки.
10) Движение заряженной частицы в магнитном поле. Сила Лоренца.
11) Магнитный поток. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца. Явление самоиндукции. ЭДС самоиндукции.
Магнитное поле тока:
Магнитное поле создается вокруг электрических зарядов при их движении. Так как движение электрических зарядов представляет собой электрический ток, то вокруг всякого проводника с током всегда существует магнитное поле тока .
Чтобы убедиться в существовании магнитного поля тока, поднесем сверху к проводнику, по которому протекает электрический ток, обыкновенный компас. Стрелка компаса тотчас же отклонится в сторону. Поднесем компас к проводнику с током снизу - стрелка компаса отклонится в другую сторону (рисунок 1).
Применим закон Био–Савара–Лапласа для расчета магнитных полей простейших токов. Рассмотрим магнитное поле прямого тока.
Все векторы dB от произвольных элементарных участков dl имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей.
Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка видно, что:
;
Подставив найденные значения r и dl в закон Био–Савара–Лапласа, получим:
Для конечного проводника угол α изменяется от , до. Тогда
Для бесконечно длинного проводника , а , тогда
или, что удобнее для расчетов, .
Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему концентрических окружностей, охватывающих ток.
21. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету индукции магнитного поля кругового тока.
Магнитное поле кругового проводника с током.
22. Магнитный момент витка с током. Вихревой характер магнитного поля.
Магнитный момент витка с током это физическая величина, как и любой другой магнитный момент, характеризует магнитные свойства данной системы. В нашем случае систему представляет круговой виток с током. Этот ток создает магнитное поле, которое взаимодействует с внешним магнитным полем. Это может быть как поле земли, так и поле постоянного или электромагнита.
Рисунок - 1 круговой виток с током
Круговой виток с током можно представить в виде короткого магнита. Причем этот магнит будет направлен перпендикулярно плоскости витка. Расположение полюсов такого магнита определяется с помощью правила буравчика. Согласно которому северный плюс будет находиться за плоскостью витка, если ток в нем будет двигаться по часовой стрелке.
Рисунок- 2 Воображаемый полосовой магнит на оси витка
На этот магнит, то есть на наш круговой виток с током, как и на любой другой магнит, будет воздействовать внешнее магнитное поле. Если это поле будет однородным, то возникнет вращающий момент, который будет стремиться развернуть виток. Поле буде поворачивать виток так чтобы его ось расположилась вдоль поля. При этом силовые линии самого витка, как маленького магнита, должны совпасть по направлению с внешним полем.
Если же внешнее поле будет не однородным, то к вращающему моменту добавится и поступательное движение. Это движение возникнет вследствие того что участки поля с большей индукцией будут притягивать наш магнит в виде витка больше чем участки с меньшей индукцией. И виток начнет двигаться в сторону поля с большей индукцией.
Величину магнитного момента кругового витка с током можно определить по формуле.
Где, I ток протекающий по витку
S площадь витка с током
n нормаль к плоскости в которой находится виток
Таким образом, из формулы видно, что магнитный момент витка это векторная величина. То есть кроме величины силы, то есть ее модуля он обладает еще и направлением. Данное свойство магнитный момент получил из-за того что в его состав входит вектор нормали к плоскости витка.
dl
R dB, B
Легко понять, что все элементы тока создают в центре кругового тока магнитное поле одинакового направления. Поскольку все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору, из-за чего sinα = 1, и находятся от центра на одном и том же расстоянии R , то из уравнения 3.3.6 получаем следующее выражение
B = μ 0 μI/2R . (3.3.7)
2. Магнитное поле прямого тока бесконечной длины. Пусть ток течет сверху вниз. Выберем на нем несколько элементов с током и найдем их вклады в суммарную магнитную индукцию в точке, отстоящей от проводника на расстоянии R . Каждый элемент даст свой вектор dB , направленный перпендикулярно плоскости листа «к нам», также будет направлении и суммарный вектор В . При переходе от одного элемента к другому, которые располагаются на разной высоте проводника, будет изменяться угол α в пределах от 0 до π. Интегрирование даст следующее уравнение
B = (μ 0 μ/4π)2I/R . (3.3.8)
Как мы говорили, магнитное поле ориентирует определенным образом рамку с током. Это происходит потому, что поле оказывает силовое воздействие на каждый элемент рамки. И поскольку токи на противоположных сторонах рамки, параллельных ее оси, текут в противоположных направлениях, то и силы, действующие на них, оказываются разнонаправленными, вследствие чего и возникает вращающий момент. Ампер установил, что сила dF , которая действует со стороны поля на элемент проводника dl , прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl на магнитную индукцию В :
dF = I [dl , B ]. (3.3.9)
Выражение 3.3.9 называют законом Ампера . Направление вектора силы, которая называется силой Ампера , определяют по правилу левой руки: если ладонь руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В , а четыре вытянутых пальца направить вдоль тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление вектора силы. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле
dF = IBdlsinα , (3.3.10)
где α – угол между векторами dl и B .
Пользуясь законом Ампера, можно определить силу взаимодействия двух токов. Представим себе два бесконечных прямолинейных тока I 1 и I 2 , текущих перпендикулярно плоскости рис. 3.3.4 в сторону наблюдателя, расстояние между которыми равно R . Понятно, что каждый проводник создает в пространстве вокруг себя магнитное поле, которое по закону Ампера действует на другой проводник, находящийся в этом поле. Выберем на втором проводнике с током I 2 элемент dl и рассчитаем силу dF 1 , с которой магнитное поле проводника с током I 1 действует на этот элемент. Линии магнитной индукции поля, которое создает проводник с током I 1 , представляют собой концентрические окружности (рис. 3.3.4).
В 1
dF 2 dF 1
B 2
Вектор В 1 лежит в плоскости рисунка и направлен вверх (это определяется по правилу правого винта), а его модуль
B 1 = (μ 0 μ/4π)2I 1 /R . (3.3.11)
Сила dF 1 , с которой поле первого тока действует на элемент второго тока, определяется по правилу левой руки, она направлена в сторону первого тока. Поскольку угол между элементом тока I 2 и вектором В 1 прямой, для модуля силы с учетом 3.3.11 получаем
dF 1 = I 2 B 1 dl = (μ 0 μ/4π)2I 1 I 2 dl/R . (3.3.12)
Легко показать, рассуждая аналогичным образом, что сила dF 2 , с которой магнитное поле второго тока действует на такой же элемент первого тока
Пусть постоянный электрический ток силой I протекает по плоскому круглому контуру радиуса R. Найдем индукцию поля в центре кольца в точке O
Мысленно разобьем кольцо на малые участки, которые можно считать прямолинейными, и применим закон Био-Саварра-Лапласа для определения индукции поля, создаваемого этим элементом, в центре кольца. В данном случае вектор элемента тока (IΔl)k и вектор rk, соединяющий данный элемент с точкой наблюдения (центр кольца), перпендикулярны, поэтому sinα = 1. Вектор индукции поля, созданного выделенным участком кольца, направлен вдоль оси кольца, а его модуль равен
Для любого другого элемента кольца ситуация абсолютно аналогична − вектор индукции также направлен по оси кольца, а его модуль определяется формулой (1). Поэтому суммирование этих векторов выполняется элементарно и сводится к суммированию длин участков кольца 
Усложним задачу − найдем индукцию поля в точке A, находящейся на оси кольца на расстоянии z от его центра. 
По-прежнему, выделяем малый участок кольца (IΔl)k и строим вектор индукции поля ΔBk, созданным этим элементом, в рассматриваемой точке. Это вектор перпендикулярен вектору r, соединяющему выделенный участок с точкой наблюдения. Векторы (IΔl)k и rk, как и ранее, перпендикулярны, поэтому sinα = 1. Так кольцо обладает осевой симметрией, то суммарный вектор индукции поля в точке A должен быть направлен по оси кольца. К этому же выводу о направлении суммарного вектора индукции можно прийти, если заметить, что каждому выделенному участку кольца имеется симметричный ему с противоположной стороны, а сумма двух симметричных векторов направлена вдоль оси кольца. Таким образом, для того чтобы определить модуль суммарного вектора индукции, необходимо просуммировать проекции векторов на ось кольца. Эта операция не представляет особой сложности, если учесть, расстояния от всех точек кольца до точки наблюдения одинаковы rk = √{R2+ z2}, а также одинаковы углы φ между векторами ΔBk и осью кольца. Запишем выражение для модуля искомого суммарного вектора индукции 
Из рисунка следует, что cosφ = R/r, с учетом выражения для расстояния r, получим окончательное выражение для вектора индукции поля 
Как и следовало ожидать, в центре кольца (при z = 0) формула (3) переходит в полученную ранее формулу (2).
Используя общий рассматриваемый здесь метод, можно рассчитать индукцию поля в произвольной точке. Рассматриваемая система обладает осевой симметрией, поэтому достаточно найти распределение поля в плоскости, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пусть кольцо лежит в плоскости xOy(рис. 433), 
а поле рассчитывается в плоскости yOz. Кольцо следует разбить на малые участки, видимые из центра под углом Δφ и просуммировать поля создаваемые этими участками. Можно показать (попробуйте проделать это самостоятельно), что компоненты вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним выделенным элементом тока, в точке с координатами (y, z) рассчитываются по формулам:
Рассмотрим выражение для индукции поля на оси кольца на расстояниях значительно больших радиуса кольца z >> R. В этом случае формула (3) упрощается и приобретает вид
Где IπR2 = IS = pm − произведение силы тока на площадь контура, то есть магнитный момент кольца. Эта формула совпадает (если как обычно, заменить μo в числителе на εo в знаменателе) с выражением для напряженности электрического поля диполя на его оси.
Такое совпадение не случайно, более того, можно показать, что подобное соответствие справедливо для любой точки поля, находящейся на больших расстояниях от кольца. Фактически малый контур с током является магнитным диполем (два одинаковых малых противоположно направленных элемента тока) − поэтому его поле совпадает с полем электрического диполя. Чтобы ярче подчеркнуть этот факт, приведена картина силовых линий магнитного поля кольца, на больших расстояниях от него (сравните с аналогичной картиной для поля электрического диполя).
Напряженность магнитного поля на оси кругового тока (рис. 6.17-1), создаваемого элементом проводника Idl , равна
поскольку в данном случае
Рис. 6.17. Магнитное поле на оси кругового тока (слева) и электрическое поле на оси диполя (справа)
При интегрировании по витку вектор будет описывать конус, так что в результате «выживет» только компонента поля вдоль оси 0z . Поэтому достаточно просуммировать величину
|
|
Интегрирование
выполняется с учетом того, что подынтегральная функция не зависит от переменной l , а
Соответственно, полная магнитная индукция на оси витка равна
|
|
В частности, в центре витка (h = 0) поле равно
На большом расстоянии от витка (h >> R ) можно пренебречь единицей под радикалом в знаменателе. В результате получаем
|
|
Здесь мы использовали выражение для модуля магнитного момента витка Р m , равное произведению I на площадь витка Магнитное поле образует с круговым током правовинтовую систему, так что (6.13) можно записать в векторной форме
|
|
Для сравнения рассчитаем поле электрического диполя (рис. 6.17-2). Электрические поля от положительного и отрицательного зарядов равны, соответственно,
так что результирующее поле будет
|
|
На больших расстояниях (h >> l ) имеем отсюда
|
|
Здесь мы использовали введенное в (3.5) понятие вектора электрического момента диполя . Поле Е параллельно вектору дипольного момента, так что (6.16) можно записать в векторной форме
|
|
Аналогия с (6.14) очевидна.
Силовые линии магнитного поля кругового витка с током показаны на рис. 6.18. и 6.19
Рис. 6.18. Силовые линии магнитного поля кругового витка с током на небольших расстояниях от провода
Рис. 6.19. Распределение силовых линий магнитного поля кругового витка с током в плоскости его оси симметрии.
Магнитный момент витка направлен по этой оси
На рис. 6.20 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.
Магнитные силовые линии для витка, ось которого лежит в плоскости пластинки, сгущаются внутри витка. Вблизи проводов они имеют кольцевую форму, а вдали от витка поле быстро спадает, так что опилки практически не ориентируются.
Рис. 6.20. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг кругового витка с током
Пример 1. Электрон в атоме водорода движется вокруг протона по окружности радиусом а B = 53 пм (эту величину называют радиусом Бора по имени одного из создателей квантовой механики, который первым вычислил радиус орбиты теоретически) (рис. 6.21). Найти силу эквивалентного кругового тока и магнитную индукцию В поля в центре окружности.
Рис. 6.21. Электрон в атоме водорода а B = 2,18·10 6 м/с. Движущийся заряд создает в центре орбиты магнитное поле
Этот же результат можно получить с помощью выражения (6.12) для поля в центре витка с током, силу которого мы нашли выше
Пример 2. Бесконечно длинный тонкий проводник с током 50 А имеет кольцеобразную петлю радиусом 10 см (рис. 6.22). Найти магнитную индукцию в центре петли.
Рис. 6.22. Магнитное поле длинного проводника с круговой петлей
Решение. Магнитное поле в центре петли создается бесконечно длинным прямолинейным проводом и кольцевым витком. Поле от прямолинейного провода направлено ортогонально плоскости рисунка «на нас», его величина равна (см. (6.9))
Поле, создаваемое кольцеобразной частью проводника, имеет то же направление и равно (см. 6.12)
Суммарное поле в центре витка будет равно
Дополнительная информация
http://n-t.ru/nl/fz/bohr.htm - Нильс Бор (1885–1962);
http://www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/broil/06.php - теория Бора атома водорода в книге Луи де Бройля «Революция в физике»;
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/bohr-bio.html - Нобелевские премии. Нобелевская премия по физике 1922 г. Нильс Бор.